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最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

树在数据结构中占据了非常重要的位置,尤其是二叉树。经常是在java面试中必问的一个环节,而且二叉树的应用场景真的非常普遍,需要重点掌握好。

但是一直以来,很多同学对于二叉树的掌握都是不太全面。今天我就来谈谈二叉树,希望你喜欢这个Java数据结构与算法这个专题,认真看完后你会对二叉树会有一个比较完整的了解。

本文作者:陈睿|mikechen 优知学院创始人

重点会谈到以下几点:

  • 二叉树
  • 二叉树的遍历方式
  • 二叉树有哪些种类
  • 满二叉树
  • 完全二叉树
  • 二叉搜索树
  • 平衡二叉树(AVL)
  • 左旋与右旋

 

一.什么是二叉树

 

二叉树:就是每个节点都只能有两个子节点的树结构,俗称 “大裤衩”,特别形象。

通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。

下图你一看就秒懂了。

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

 

二.二叉树遍历方式

 

2.1二叉树的遍历主要有三种:

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

1)先序遍历(根左右)

2)中序遍历(左根右)

3)后序遍历(左右根)

 

2.2 先序遍历(根左右)

我先从第一种先序遍历开始谈起,主要的遍历顺序如下:

1)先访问根结点

2)然后先序遍历左子树

3)然后先序遍历右子树

还是举例说明,先序遍历下图

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

如果按照先序(根左右)遍历,结果将为: ABDFECGHI

 

2.3 中序遍历(左根右)

1)先中序遍历左子树

2)然后是根结点

3)然后中序遍历右子树

 

还是举例说明,中序遍历同一颗二叉树

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

按照中序遍历(左根右),结果为: DBEFAGHCI

 

2.4 后序遍历

1)后序遍历左子树

2)后序遍历右子树

3)然后访问根节点

 

还是举例说明,后序遍历同一颗二叉树

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

按照后序遍历(左右根)结果为:DEFBHGICA

 

三.二叉树的种类

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

基本包含:

  • 满二叉树
  • 完全二叉树
  • 二叉搜索树
  • 平衡AVL树
  • 红黑树也属于AVL树

我先从满二叉树谈起。

 

3.1满二叉树

 

1)满二叉树

一棵树深度为k,2^k-1个节点的树是满二叉树

2)满二叉树的形态

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

3)满二叉树的特征

所有内部节点都有两个子节点,最底一层是叶子节点。

如果一颗树深度为h,最大层数为k,且深度与最大层数相同,即k=h;

第k层的结点数是:2^(k-1)

总结点数是:2^k-1 (2的k次方减一)

总节点数一定是奇数。

树高:h=log2(n+1)

 

3.2.完全二叉树

 

1)完全二叉树

若设二叉树的深度为h,除第 h 层外,其它各层 (1~h-1) 的结点数都达到最大个数,第h 层所有的结点都连续集中在最左边,这就是完全二叉树。

2)完全二叉树的形态

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

3)完全二叉树的特征

深度为k的完全二叉树,至少有2^(k-1)个节点,至多有2^k-1个节点。

树高h=log2n + 1

满二叉树一定是完全二叉树,完全二叉树不一定是满二叉树

 

3.3.二叉查找/搜索/排序树-BST

 

1)二叉搜索树

二叉搜索树BST(Binary Search/ Sort Tree),也称为二叉查找树,二叉排序树

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

备注:下面我就以二叉搜索树来统称,但是你要知道二叉搜索树、二叉查找树、二叉排序树,其实是同一种树。

 

2)二叉搜索树的特点

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树
  • 左子树上所有结点的值均小于等于它的根结点的值
  • 右子树上所有结点的值均大于等于它的根结点的值

 

3)二叉搜索树的优缺点

优点:查找速度快,二叉查找树比普通树查找更快

缺点出现平衡问题

 

二叉搜索树在经过多次插入与删除后,有可能导致如下右图的结构:

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

搜索性能已经是线性的了,所以,使用二叉搜索树还要考虑尽可能保持上面左图的结构,和避免上面右图的结构,也就是所谓的“平衡”问题 。

 

4)二叉搜索树的时间复杂度

时间复杂度

二叉查找树比普通树查找更快,查找、插入、删除的时间复杂度为O(logN)。

缺点

二叉查找树有一种极端的情况,就是会变成一种线性链表似的结构,此时时间复杂度就变味了O(N),为了解决这种情况,所以出现了下面我即将谈到的二叉平衡树。

备注:时间复杂度

  • O(1):最低的时空复杂度,也就是耗时与输入数据大小无关,无论输入数据增大多少倍,耗时/耗空间都不变。哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度,无论数据规模多大,都可以在一次计算后找到目标。
  • O(n):代表数据量增大几倍,耗时也增大几倍。比如常见的遍历算法。
  • O(logn):当数据增大n倍时,耗时增大logn倍(这里的log是以2为底的,比如,当数据增大256倍时,耗时只增大8倍,是比线性还要低的时间复杂度)。二分查找就是O(logn)的算法,每找一次排除一半的可能,256个数据中查找只要找8次就可以找到目标。

 

3.4.平衡二叉树(AVL树)

 

1)平衡二叉树

平衡二叉树全称平衡二叉搜索树,也叫AVL树,是一种自平衡的树,从上面二叉搜索树升级过来的,重点是改进了平衡问题。

2)平衡二叉树的特征

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树
  • AVL树也规定了左结点小于根节点,右结点大于根节点。
  • 并且还规定了左子树和右子树的高度差不得超过1,这样保证了它不会成为线性的链表。

 

3)AVL树怎么解决平衡

主要就是通过左旋和右旋来解决,防止特殊情况下出现下面的线性结构。

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

所以通过下图的左旋和右旋来解决上面的平衡问题。

最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树
最全二叉树:完整详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

但也有对应的缺点,由于要维持自身的平衡,所以进行插入和删除结点操作的时候,需要对结点进行频繁的旋转。

4.结语

通过上述的介绍,已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握,并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型,为后续学习数据结构与算法打好基础。

如果喜欢点个赞,后续我会持续写这个数据结构与算法专题。

 


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